Triangeln och dess egenskaper

Bland många sakergymnasiet finns det som "geometri". Traditionellt menas det att förfäderna i denna systematiska vetenskap är grekerna. Hittills kallas den grekiska geometrin elementär, eftersom det är hon som började studera de enklaste formerna: plan, raka, vanliga polygoner och trianglar. På den senare kommer vi att stoppa vår uppmärksamhet, eller snarare på bisektorn i denna figur. För dem som redan har glömt är bisektorn av triangeln ett segment av bisektorn av en av vinklarna i triangeln som delar den i halva och förbinder vertexen till den punkt som ligger på motsatt sida.

Bisektorn i en triangel har ett antal egenskaper som du behöver veta när du löser vissa problem:

• Vinkelbisektorn är en geometrisk punktpunkt borttagen på lika avstånd från sidorna intill hörnet.
• Bisektorn i triangeln delar upp motsatsenfrån sidovinkeln till segmenten, som är proportionella mot de intilliggande sidorna. Till exempel ges en triangel MKB, där från vinkeln K kommer en bisektris som förbinder vinkeln hos denna vinkel med punkten A på motsatt sida MB. Analysera denna egenskap och vår triangel har vi MA / AB = MK / KB.
• Den punkt vid vilken bisektorerna i alla tre vinklarna av en triangel skärs är mitt i en cirkel som är inskriven i samma triangel.
• Basen av bisektorerna i en yttre och två inre hörn är på samma raka linje, förutsatt att det yttre hörnets bisektor inte är parallellt med den motsatta sidan av triangeln.
• Om två bisektorer av samma triangel är lika, så är denna triangel jämn.

Det bör noteras att om tre bisektorer ges, då är konstruktionen av en triangel över dem, även med hjälp av en kompass, omöjlig.

Mycket ofta när man löser problem bisektornTriangeln är okänd, men det är nödvändigt att bestämma dess längd. För att lösa ett sådant problem är det nödvändigt att känna till den vinkel som bisektorn delas i hälften och sidorna angränsande till denna vinkel. I detta fall definieras den önskade längden som förhållandet mellan sidans dubbla produkt och vinkelns cosinus dividerad med hälften till summan av sidorna intill vinkeln. Till exempel ges samma MKB-triangel. Bisektorn sträcker sig från vinkeln K och skär den motsatta sidan av MB vid punkt A. Vi betecknar den vinkel från vilken bisektrisen lämnar, y. Låt oss nu skriva ner allt som sägs i ord i form av en formel: KA = (2 * MK * KB * cos y / 2) / (MK + KB).

Om värdet av vinkeln från vilkenbisektris av triangeln, är okänd, men kända för alla dess sidor, för att beräkna längden på bisektrisen, kommer vi att använda en ytterligare variabel, som vi kallar semiperimeter och betecknas med bokstaven P: P = 1/2 * (MK + KB + MB). gör då vissa förändringar i den ovan angivna formeln, som bestäms av bisektrisen av längden, nämligen, i täljaren inställd två gånger kvadratroten ur produkten av längderna av de sidor som angränsar till hörnet, och i synnerhet semiperimeter där semiperimeter subtraheras från längden på den tredje sidan. Vi lämnar nämnaren oförändrad. I formel bildar denna visas som: KA = 2 * √ (MK * KB * P * (P-MB)) / (MK + KB).

Bisektorn i en rät vinklad triangel haralla samma egenskaper som i det vanliga, men förutom det redan kända finns det också en ny: bisektorerna i de vinklade vinklarna i en rät vinklad triangel bildar en vinkel på 45 grader vid korsningen. Om det är nödvändigt är det lätt att bevisa att använda en triangels egenskaper och intilliggande vinklar.

Bisektorn av en likadant triangel tillsammans medhar flera egenskaper gemensamt. Låt oss komma ihåg vilken sorts triangel det är. I en sådan triangel är de båda sidorna lika, och vinklarna intill basen är lika. Följaktligen följer att bisektorer som faller ned till sidosidorna av en likriktad triangel är lika med varandra. Dessutom är bisektorn, sänkt till basen, både en höjd och en median.